Exemplo De Funcao Quando O Delra For Igual A Zero, desmistifica um conceito fundamental em matemática: a relação entre o delta (Δ) e as raízes de uma função quadrática. Ao explorarmos o caso específico onde o delta é igual a zero, entenderemos como esse valor singular impacta a natureza das raízes da função, revelando a presença de raízes repetidas.
Essa análise nos permitirá compreender a geometria do gráfico da função quadrática quando o delta é zero, observando a relação entre o vértice da parábola e as raízes. Além disso, exploraremos aplicações práticas do conceito em situações reais, demonstrando como o delta igual a zero pode ser utilizado para resolver problemas de otimização e modelar fenômenos do mundo real.
Funções Quadráticas com Delta Igual a Zero
Neste artigo, vamos explorar o conceito de funções quadráticas e o significado do delta (Δ) quando ele é igual a zero. Vamos analisar como o delta afeta as raízes da função e como isso se manifesta graficamente. Além disso, veremos exemplos de aplicações práticas desse conceito.
Introdução
Uma função matemática é uma relação que associa cada elemento de um conjunto (domínio) a um único elemento de outro conjunto (contradomínio). As funções quadráticas são um tipo específico de função que pode ser representada pela equação geral:
f(x) = ax² + bx + c
onde a, b e c são constantes reais e a ≠ 0. O delta (Δ) é um discriminante que nos ajuda a determinar o número e a natureza das raízes (soluções) da função quadrática. Ele é definido pela fórmula:
Δ = b²
4ac
Quando o delta é igual a zero (Δ = 0), isso significa que a função quadrática possui exatamente uma raiz real, que é uma raiz dupla ou raiz repetida.
Funções Quadráticas e o Delta
O valor do delta nos fornece informações importantes sobre as raízes da função quadrática.
- Se Δ > 0, a função possui duas raízes reais distintas.
- Se Δ = 0, a função possui uma raiz real dupla.
- Se Δ < 0, a função não possui raízes reais, mas possui duas raízes complexas conjugadas.
O delta é calculado usando a fórmula:
Δ = b²
4ac
onde a, b e c são os coeficientes da função quadrática.
Delta Igual a Zero: Raízes Repetidas
Quando o delta é igual a zero (Δ = 0), a função quadrática possui uma raiz real dupla. Isso significa que a função cruza o eixo x em um único ponto, e esse ponto é a raiz dupla. Para encontrar a raiz dupla, podemos usar a fórmula:
x =
b / 2a
Essa fórmula fornece a única raiz da função quadrática quando o delta é zero.
Exemplos
| Função Quadrática | Delta (Δ) | Raiz Dupla (x) |
|---|---|---|
f(x) = x²
|
0 | 2 |
| f(x) = 9x² + 12x + 4 | 0 | -2/3 |
f(x) = 4x²
|
0 | 3/2 |
f(x) = 25x²
|
0 | 2/5 |
Interpretação Gráfica
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Quando o delta é igual a zero, a parábola toca o eixo x em um único ponto, que é o vértice da parábola.
Isso significa que o vértice da parábola coincide com a raiz dupla da função.
O gráfico de uma função quadrática com delta igual a zero é simétrico em relação ao eixo vertical que passa pelo vértice da parábola. O ponto de intersecção da parábola com o eixo y é o ponto (0, c), onde c é o termo constante da função quadrática.
Aplicações Práticas
O conceito de delta igual a zero tem diversas aplicações práticas em áreas como física, engenharia e economia.
- Em física, o delta pode ser usado para determinar o tempo que um objeto leva para atingir o ponto mais alto de sua trajetória quando lançado verticalmente para cima.
- Em engenharia, o delta pode ser usado para calcular a carga máxima que uma estrutura pode suportar antes de começar a ceder.
- Em economia, o delta pode ser usado para determinar o ponto de equilíbrio em um mercado competitivo.
O delta também pode ser usado para resolver problemas de otimização, como encontrar o valor máximo ou mínimo de uma função quadrática. Em problemas de otimização, o delta pode ser usado para determinar se a função possui um máximo ou mínimo e para encontrar o valor desse máximo ou mínimo.
Compreender o comportamento das funções quadráticas quando o delta é igual a zero é crucial para a resolução de problemas matemáticos e para a aplicação da matemática em diversas áreas. Ao desvendar os mistérios do delta zero, abrimos portas para uma compreensão mais profunda da natureza das funções quadráticas e suas aplicações práticas, ampliando nossa capacidade de solucionar problemas e interpretar fenômenos do mundo real.
General Inquiries: Exemplo De Funcao Quando O Delra For Igual A Zero
O que acontece com o gráfico da função quadrática quando o delta é igual a zero?
Quando o delta é igual a zero, o gráfico da função quadrática é uma parábola que toca o eixo x em um único ponto, representando a raiz repetida da função.
Quais são as aplicações práticas do conceito de delta igual a zero?
O conceito de delta igual a zero é aplicado em diversas áreas, como física, engenharia e economia. Por exemplo, pode ser usado para determinar o ponto de equilíbrio em um sistema econômico, calcular a trajetória de um projétil ou analisar o movimento de um pêndulo.